方阵函数与函数矩阵（矩阵函数的性质）

基本概念

几何重数：方阵 $A$ A 的属于特征值 $λi$ lambda_i 线性无关特征向量的个数 $k$ k ；代数重数：方阵 $A$ A 的特征值 $λi$ lambda_i相同的个数，就是相同特征值的个数 $n$ n ；

显然，方阵 $A$ A的每个特征值对应的几何重数小于等于代数重数，即 $k\leqn$ k le n

$n$ n 阶矩阵 $A$ A 可相似对角化的充要条件： $A$ A 有 $n$ n 个线性无关的特征向量。

设 $A$ A 是 $n\timesn$ n times n 矩阵， $λi$ lambda_i 是其特征值，i=1，2，……，n。称 $p(A)=max(|λi|)$ p(A)=max(|lambda_i|) 为A的谱半径。即矩阵A的谱半径等于矩阵A的特征值的模的最大值；若特征值为复数，则谱半径为实部与虚部的平方和的开方。

Jordan 矩阵，一定要注意是某个特征值的Jordan矩阵，多个特征值连在一起的话，把它看成分块矩阵就行。

由于幂级函数 $\sumk=0\inftyckλk=f(λ)$ sum_{k=0}^{infty}c_k lambda^k=f(lambda) ，推广到方阵 $\sumk=0\inftyckAk=f(A)$ sum_{k=0}^{infty}c_k A^k=f(A) .

这里的意思也是如果我们求 $eA$ e^A ，那么也可以使用泰勒展开进行计算： $eA=\sum1k!Ak$ e^A=sum frac{1}{k!}A^k

方阵 $A$ A 的特征多项式 Characteristic polynomial

$det(A?λI)=(λ1?λ)n1\dots(λs?λ)ns$ det(A-lambda I)=(lambda_1 – lambda)^{n_1}… (lambda_s – lambda)^{n_s}

只有 $A$ A 的一个特征值的几何重数小于其代数重数， $A$ A 肯定就没有 $n$ n 个线性无关的特征向量，也就说 $A$ A 无法相似对角化。（其实就是看秩 ,线性无关向量的个数(几何重数)= $n?r$ n – r ）

Cayley-Hamilton定理:方阵 $A$ A 的特征多项式一定是 $A$ A 的一个零化多项式。

Note：这里可能会有点乱！主要我们平时说的多项式是 $g(A)=2A2+3A?I$ g(A)=2A^2+3A-I 这样，但是特征多项式是 $g(λ)=det(A?λI)$ g(lambda)=det(A-lambda I) 千万不要搞混淆！！

Cayley-Hamilton定理表明： $n$ n 阶方阵 $A$ A 的高次幂 $Ak(k\geqn)$ A^k(kge n) 可由 $I,A,\dots,An?1$ I,A,…,A^{n-1} 线性表出。

这里证明得非常详尽，我实在没有多少时间，只能记录一下重要结论。

首先，以方阵 $A$ A 的多项式作为变量的多项式 $g(A)$ g(A) 就称为 $A$ A 的多项式，显然知道 $g(A)$ g(A) ， $g(λ)$ g(lambda) 也可以轻易算出来。如果有 $g(A)=O$ g(A)=O ，则称 $g(λ)$ g(lambda) 是 $A$ A 的零化多项式。

$g(A)=a0Am+\dots+amI$ g(A)=a_0A^m+…+a_mI ,那么在 $g(λ)$ g(lambda) 中 $I$ I 就是特征值为1的结果。

在 $A$ A 的零化多项式 $g(λ)$ g(lambda) 中，次数最低的首一（即最高次项的系数为1）多项式称为 $A$ A 的最小多项式。一定有如下形式： $mA(λ)=(λ1?λ)r1?\dots?(λs?λ)rs$ m_A(lambda)=(lambda_1 – lambda)^{r_1} – …- (lambda_s – lambda)^{r_s} 这里有写 $r/m$ r/m

最小多项式非常重要，是后面求解的第一步！为什么一定是最小多项式？这是由于 infty} A^k=O”> $limk?>\inftyAk=O$ lim_{k-> infty} A^k=O . 写出 $A$ A 的最小多项式，可得 $Am=?(aoI+a1A+?am?1Am?1)$ A^m=-(a_oI + a_1A+-a_{m-1}A^{m-1}) , 表明 $f(A)=\sumk=0\inftyckAk$ f(A)=sum_{k=0}^{infty}c_kA^k 可以由 $A$ A 的某个次数不高于 $m?1$ m-1 的多项式进行表示！同样有了这个多形式，就可以相应地写出 $g(λ)$ g(lambda) .那么 $g(λ)$ g(lambda) 就相当于一个“桥梁”，从而求出 f(A)”> $f(λ)?>f(A)$ f(lambda)->f(A)

最小多项式的求法，针对Jordan矩阵，首先写出特征多项式，然后根据每一项算( $J+λI$ J +lambda I ，显然是幂矩阵)，看看变为零矩阵需要多少次，最后 $n?$ n- 次数就是最后的 $r$ r

（一般应付考试，简单的题目直接特征多项式就是最小多项式了）

求方阵函数 $g(A)$ g(A) 的两种办法：利用方阵 $A$ A 的 $Jordan$ Jordan 标准型与最小多项式

首先我们要了解 $Jordan$ Jordan 块的性质，这是基于方阵的幂级数推导出来的，具体推导在p94.

这里就是一定要注意是否有重根，有重根就要求导，没重根就不用考虑了。

最小多项式 $g(λ)$ g(lambda)解题步骤：

写出最小多项式 $g(λ)$ g(lambda) ,显然知道 $g(λ)$ g(lambda) 就能知道 $g(A)$ g(A) ；解出 $g(A)=f(A)$ g(A)=f(A) 的条件,根据Jordan矩阵的性质，待定系数法把 $b$ b 求出来( $g(λ)=b0λm?1+\dots.+bm?1$ g(lambda)=b_0lambda^{m-1} +….+b_{m-1} )；

如何构造 $g(λ)$ g(lambda) ?

上面说了表 $f(A)=\sumk=0\inftyckAk$ f(A)=sum_{k=0}^{infty}c_kA^k 可以由 $A$ A 的某个次数不高于 $m?1$ m-1 的多项式进行表示！显然因为 $Am?1$ A^{m-1} 对应着特征多项式(最小多项式)的 $λm?1$ lambda^{m-1} ，也就是说举两个例子

$mA(λ)=(λ?1)2(λ?2)$ m_A(lambda)=(lambda – 1)^2(lambda-2) , 即 $λ$ lambda 最高次是3，那么 $3?1=2$ 3-1=2 ，我们构造 $g(λ)=b0+b1λ+b2λ2$ g(lambda)=b_0 + b_1lambda +b_2lambda^2 . 注意有重根就要考虑求导 $mA(λ)=(λ?1)(λ?2)$ m_A(lambda)=(lambda – 1)(lambda-2) , $2?1=1$ 2-1=1 ,即 $g(λ)=b0+b1λ$ g(lambda)=b_0 + b_1lambda

还可以使用方阵 $A$ A Jordan的标准型求解方阵函数

设 $J$ J 是 $A$ A 的Jordan标准型，则存在可逆矩阵 $P$ P 使得 $A=PJP?1$ A=PJP^{-1} ,那么对应的 $f(A)=PJ(f(J(λi)))P?1$ f(A)=PJ(f(J(lambda_i)))P^{-1} ，同样 $P$ P 也是由 $A$ A 的特征向量组成。（得到的 $J$ J 一定是Jordan标准型吗？是的，证明我也不记得了，到时补一下）

如果 $A$ A 直接是Jordan标准型那就最好了，如果不是就对 $A$ A 就行正交分解。

函数矩阵

主要应用在微分方程。这根我们之前高等数学算的套路是是一样的。只不过矩阵乘法不能满足交换律，有些地方还是需要注意先后顺序的。关键也是是先把类似 $eA$ e^A 这样的方阵函数求出来。

一阶线性方程组可以表示成这个形式，没什么神秘的，就是方程组：

$ddtx(t)=Ax(t)+g(t)$ frac{d}{dt}x(t)=Ax(t)+g(t) 其中 $x(t)=[x1(t)\dots\dots]T$ x(t)=[x_1(t)……]^T 事实上可以理解为 $x(t)=[x,x',x″,x?\dots\dots]T$ x(t)=[x,x,x,x……]^T ,通过矩阵的形式来表示我们的一阶线性方程组。

对于任何方阵 $A$ A ， $eAt$ e^{A^t} 可逆，且 $(eAt)?1=e?At$ (e^{A^t})^{-1}=e^{-A^t} ，则有 $ddteAt=AeAt=eAtA$ frac{d}{dt}e^{At}=Ae^{A_t}=e^{A_t}A . $sin(At),cos(At)$ sin(At),cos(At) 同理。

求解初值问题例题：

和高数一样，我们知道 $x(t)=eA(t?t0)x(t0)+\intt0teA(t?t0)g(τ)dτ$ x(t)=e^{A(t-t_0)}x(t_0) + int_{t_0}^{t}e^{A(t-t_0)}g(tau)dtau ， $A$ A 就是系数， $B$ B 就是另外的[1,-1]，再计算的时候一定要保证左右顺序。

首先根据计算方阵函数的方法把 $eAt$ e^{At} 求出来，然后积分区间变换，然后是乘以 $A?1$ A^{-1} ，（不要理所当然乘以 $1A$ frac{1}{A} ，除非是求行列式）,接下来乘出来就是了。

如何求 $x(t)$ x(t) ，本质上也是构造的。

如果是对于齐次线性微分方程组 $x'?Ax=0$ x – Ax=0 就简单点啦，通解为 $x(t)=eAtb$ x(t)=e^{At}b 。

如果是非齐次线性微分方程组就稍微复杂点，求导多了一项，通解为 $x(t)=eAtb(t)$ x(t)=e^{At}b(t).

首先对 $x(t)$ x(t) 求导。积分空间是 $[t0,t]$ [t_0,t]

然后就是要把 $b(t)$ b(t) 的表达式算出来，求逆，再积分。

那么直接带进去就行咯。（时间长了也有点忘记了。。。）这里看起来可能不是很直接，就是说上面对 $t$ t 求导的时候，这个 $t$ t 并不是积分区间的 $t$ t ，所以上面对 $b(t)$ b(t) 积分的时候，我们用了 $τ$ tau 来替代（积分换元），把 $t$ t 看成常量。然后再下面化简的时候，显然在积分的时候也是把 $t$ t 看成常量，就可以把 $eAt$ e^{At} 也带进去算了。

参考资料：

高等工程数学

本文内容由互联网用户自发贡献，该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容，请发送邮件至 630371849@qq.com 举报，一经查实，本站将立刻删除。
如若转载，请注明出处：https://www.po4.xyz/41382.html

方阵函数与函数矩阵（矩阵函数的性质）

基本概念

方阵 AA 的特征多项式 Characteristic polynomial

Cayley-Hamilton定理:方阵 AA 的特征多项式一定是 AA 的一个零化多项式。

求方阵函数 g(A)g(A) 的两种办法：利用方阵 AA 的 JordanJordan 标准型与最小多项式

函数矩阵

如何求 x(t)x(t) ，本质上也是构造的。

相关推荐

方阵 $A$ A 的特征多项式 Characteristic polynomial

Cayley-Hamilton定理:方阵 $A$ A 的特征多项式一定是 $A$ A 的一个零化多项式。

求方阵函数 $g(A)$ g(A) 的两种办法：利用方阵 $A$ A 的 $Jordan$ Jordan 标准型与最小多项式

如何求 $x(t)$ x(t) ，本质上也是构造的。